Question

9．已知函数f（x）=|x+1|，g（x）=m-2|x-4|，若2f（x）≥g（x）恒成立，实数m的最大值为a．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）已知实数x，y，z满足x+y+z=a，求2x²+3y²+6z²的最小值．

Answer 1

分析 （1）2f（x）≥g（x）恒成立，即2（|x+1|+|x-4|）≥m恒成立，而由绝对值三角不等式可得|x+1|+|x-4|≥|x+1-x+4|=5，可得m≤10，由此求得m的最大值a．
（2）由柯西不等式可得（x+y+z）²≤（$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}$）（2x²+3y²+6z²）=2x²+3y²+6z²，即可求2x²+3y²+6z²的最小值．

解答 解：（Ⅰ）2f（x）≥g（x）恒成立，即2（|x+1|+|x-4|）≥m恒成立，
∵|x+1|+|x-4|≥|x+1-x+4|=5，
∴m≤10，
∵实数m的最大值为a，
∴a=10；
（Ⅱ）∵x+y+z=a=10，
∴10²=（x+y+z）²≤（$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}$）（2x²+3y²+6z²）=2x²+3y²+6z²，
当且仅当x=5，y=$\frac{10}{3}$，z=$\frac{5}{3}$时，等号成立，
∴2x²+3y²+6z²的最小值为100

点评 本题主要考查绝对值三角不等式、柯西不等式的应用，属于中档题．