Question

4．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-3
（1）求f（x）在（e，f（e））处的切线方程
（2）若存在x∈[1，e]时，使2f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导函数，确定切线的斜率，即可求f（x）在（e，f（e））处的切线方程
（2）先把不等式2f（x）≥g（x）成立转化为a≤2lnx+x+$\frac{3}{x}$成立，设φ（x）=2lnx+x+$\frac{3}{x}$，x∈[1，e]，利用导函数求出φ（x）在x∈[1，e]上的最大值即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）由f（x）=xlnx，可得f'（x）=lnx+1，
所以f'（e）=2，f（e）=2．
所以f（x）在（e，f（e））处的切线方程为y-e=2（x-e），即y=2x-e；
（2）令h（x）=2f（x）-g（x）=2xlnx+x²-ax+3≥0，
则a≤2lnx+x+$\frac{3}{x}$，
令φ（x）=2lnx+x+$\frac{3}{x}$，x∈[1，e]，
∵φ′（x）=$\frac{（x-1）（x+3）}{{x}^{2}}$≥0，
∴φ（x）在[1，e]上单调递增，
∴φ_max（x）=φ（e）=2+e+$\frac{3}{e}$，
∴a≤2+e+$\frac{3}{e}$．

点评 本题主要研究利用导数求闭区间上函数的最值以及函数恒成立问题．当a≥h（x）恒成立时，只需要求h（x）的最大值；当a≤h（x）恒成立时，只需要求h（x）的最小值．