Question

14．如图：已知扇形MON所在圆半径为1，∠MON=$\frac{π}{2}$，扇形内接矩形ABOC，设∠AON=θ．
（1）将矩形面积S表示为θ的函数，并指出θ的取值范围；
（2）当θ取何值时，矩形面积S最大，并求S的最大值．

Answer 1

分析 （1）由图形得到矩形的长宽，得到矩形的面积；
（2）利用（1）的结论集合正弦函数的有界性求最大值．

解答 解：（1）由条件OA=1，∠AON=θ．
∴OC=cosθ，AC=sinθ…2分
∴S=sinθcosθ=$\frac{1}{2}$sin2θ     …4分
其中0＜$θ＜\frac{π}{2}$               …6分
（2）∵$0＜θ＜\frac{π}{2}$，∴0＜2θ＜π…8分
故当$2θ=\frac{π}{2}$，即$θ=\frac{π}{4}$时，…10分
${S}_{max}=\frac{1}{2}$．…12分．

点评 本题考查了三角函数的应用；用到了正弦函数的有界性；比较基础．