Question

15．①已知抛物线y²=2x上的点与A（0，6）距离最近的点的坐标为（2，2）；
②已知不等式3ax-2lnx≥0对任意x＞0恒成立，则实数a的取值范围是[$\frac{2}{3e}$，+∞）．

Answer 1

分析 ①设抛物线上一点P（$\frac{1}{2}$y²，y），运用两点的距离公式，再求导数，求得单调区间，即可得到最小值点；
②运用参数分离，可得$\frac{3}{2}$a≥（$\frac{lnx}{x}$）_max，令y=$\frac{lnx}{x}$，求出导数，求得单调区间和最大值，即可得到a的范围．

解答 解：①设抛物线上一点P（$\frac{1}{2}$y²，y），
令t=|PA|²=$\frac{1}{4}$y⁴+（y-6）²，
由于t′=y³+2y-12，
方程y³+2y-12=0的解为y=2，
当y＞2时，t′＞0，当y＜2时，t′＜0，
即有y=2取得极小值，且为最小值．
则有所求点P（2，2）；
②不等式3ax-2lnx≥0对任意x＞0恒成立，
即为$\frac{3}{2}$a≥（$\frac{lnx}{x}$）_max，
令y=$\frac{lnx}{x}$，y′=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
当x＞e时，y′＜0，当0＜x＜e时，y′＞0，
即有x=e处函数y取得极大值，且为最大值$\frac{1}{e}$，
即有$\frac{3}{2}$a≥$\frac{1}{e}$，解得a≥$\frac{2}{3e}$．
故答案为：（2，2），[$\frac{2}{3e}$，+∞）．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，主要考查导数的运用：求最值，运用参数分离和不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，属于中档题．