Question

3．设a，b，c，d为正数，a+b+c+d=1，求a²+b²+c²+d²的最小值．

Answer 1

分析 利用条件a+b+c+d=1，构造柯西不等式（a+b+c+d）²≤（1²+1²+1²+1²）（a²+b²+c²+d²）进行解题即可．

解答 解：由柯西不等式得（a+b+c+d）²≤（1²+1²+1²+1²）（a²+b²+c²+d²），
∵a+b+c+d=1，
∴1≤4（a²+b²+c²+d²），
∴a²+b²+c²+d²≥$\frac{1}{4}$，
当且仅当a=b=c=d取等号，
则a²+b²+c²+d²的最小值是$\frac{1}{4}$．

点评 本题主要考查了函数的最值，以及柯西不等式的应用，解题的关键是利用（a+b+c+d）²≤（1²+1²+1²+1²）（a²+b²+c²+d²），进行解题，属于中档题．