Question

5．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）：曲线C的极坐标方程为：ρ=2cosθ
（1）求直线l和曲线C的直角坐标方程；
（2）求曲线C上的点到直线l的距离的最值．

Answer 1

分析 （1）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数化为普通方程，曲线C的极坐标方程为：ρ=2cosθ，即ρ²=2ρcosθ，利用$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\\{x=ρcosθ}\end{array}\right.$即可化为直角坐标方程．
（2）圆心C（1，0）到直线l的距离d=$\frac{1}{2}$＜1=r．即可得出曲线C上的点到直线l的距离的最大值为d+r，最小值为0．

解答 解：（1）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数化为普通方程$x-\sqrt{3}y$-2=0．
曲线C的极坐标方程为：ρ=2cosθ，即ρ²=2ρcosθ，∴直角坐标方程为x²+y²=2x，即（x-1）²+y²=1．
（2）圆心C（1，0）到直线l的距离d=$\frac{|1-2|}{2}$=$\frac{1}{2}$＜1=r．
∴曲线C上的点到直线l的距离的最大值为1.5，最小值为0．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．