Question

10．已知正方形ABCD的边长为2，点E是AB边上的动点，
（1）求$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{CB}$的值
（2）求$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{DC}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）设∠ADE=θ，根据平面向量的数量积公式得到所求；
（2）设∠EDC=α，由数量积公式分析$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{DC}$的最大值的意义．

解答 解：（1）设∠ADE=θ，根据平面向量的数量积公式$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{DA}$=$|\overrightarrow{DE}|•|\overrightarrow{DA}|cosθ$，
由正方形ABCD的边长为2，点E是AB边上的动点可知，$|\overrightarrow{DE}|•cosθ=|\overrightarrow{DA}|$，
因此$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{CB}=|\overrightarrow{DA}{|^2}=4$；
（2）设∠EDC=α，$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{DC}=|\overrightarrow{DE}|•|\overrightarrow{DC}|cosα$=2$|\overrightarrow{DE}|•cosα$，而$|\overrightarrow{DE}|•cosα$就是向量$\overrightarrow{DE}$在$\overrightarrow{DC}$边上的射影，
要想让$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{DC}$最大，即让射影最大，此时E点与B点重合，射影为$\overrightarrow{DC}$，所以$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{DC}$的最大值为2．

点评 本题考查了向量的数量积公式的运用；熟练掌握公式是关键．