Question

2．已知函数f（x）=m•9^x-3^x，若存在非零实数x₀，使得f（-x₀）=f（x₀）成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A． m≥$\frac{1}{2}$
• B． m≥2
• C． 0＜m＜2
• D． 0＜m＜$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由题意可得m•9^x-3^x =m•9^-x-3^-x 有解，可得$\frac{1}{m}$=3^x+3^-x ，利用基本不等式求得m的范围．

解答 解：由题意可得m•9^x-3^x =m•9^-x-3^-x 有解，即m（9^x-9^-x ）=（3^x-3^-x ）有解．
可得$\frac{1}{m}$=3^x+3^-x ≥2 ①，求得0＜m≤$\frac{1}{2}$．
再由x₀为非零实数，可得①中等号不成立，故0＜m＜$\frac{1}{2}$，
故选：D．

点评 本题主要考查指数函数的综合应用，基本不等式的应用，注意检验等号成立条件是否具备，体现了转化的数学思想，属于中档题．