Question

12．有7名队员参加两场比赛，每场90分钟，前4名每人上场总时间都能被7整除，后3名每人上场总时间都能被13整除，每场换人次数不限，且在比赛的任何时刻，场上有且只有一名运动员，按每人上场总时间算，有多少种情况？

Answer 1

分析 设各人上场时间分别为7t₁，7t₂，7t₃，7t₄，13t₅，13t₆，13t₇，（t_i为正整数）得方程 7（t₁+t₂+t₃+t₄）+13（t₅+t₆+t₇）=90×3．令t₁+t₂+t₃+t₄=x，t₅+t₆+t₇=y，得方程7x+13y=270．即求此方程满足4≤x≤38，3≤y≤20的整数解，再根据分类和分步计数原理可得答案．

解答 解：设各人上场时间分别为7t₁，7t₂，7t₃，7t₄，13t₅，13t₆，13t₇，（t_i为正整数）．
得方程 7（t₁+t₂+t₃+t₄）+13（t₅+t₆+t₇）=90×3．
令t₁+t₂+t₃+t₄=x，t₅+t₆+t₇=y，得方程7x+13y=270．即求此方程满足4≤x≤38，3≤y≤20的整数解．
即6y≡4（mod 7），3y≡2（mod 7），y≡3（mod 7）
∴y=3，10，17，相应的x=33，20，7．
t₅+t₆+t₇=3的解只有1种，t₅+t₆+t₇=10的解有C₉²种，t₅+t₆+t₇=17的解有C₁₆²种；
t₁+t₂+t₃+t₄=33的解有C₃₂³种，t₁+t₂+t₃+t₄=20的解有C₁₉³种，
t₁+t₂+t₃+t₄=7的解有C₆³种．
∴共有1×C₃₂³+C₆³×C₁₆²×+C₁₉³×C₉²=42244种．

点评 本题考查了分步分类计数原理，本题转化为方程7x+13y=270．即求此方程满足4≤x≤38，3≤y≤20的整数解是关键，属于难题．