Question

1．已知圆C：ABCD，直线l₁过定点A （1，0）．
（1）若l₁与圆C相切，求l₁的方程；
（2）若l₁的倾斜角为45°，l₁与圆C相交于P，Q两点，求线段PQ的中点M的坐标；
（3）若l₁与圆C相交于P，Q两点，求三角形CPQ的面积的最大值，并求此时直线l₁的方程．

Answer 1

分析 （1）直线l₁的斜率不存在时符合题意，直线l₁斜率存在由待定系数法和圆的知识可得；
（2）联立直线l₁和CM方程，解方程组可得；
（3）由题意设直线方程为kx-y-k=0，由圆的弦长和三角形的面积可得k的方程，解方程可得．

解答 解：（1）①若直线l₁的斜率不存在，则直线l₁：x=1，符合题意，
   ②若直线l₁斜率存在，设直线l₁的方程为y=k（x-1），即kx-y-k=0，
由题意知，圆心（3，4）到已知直线l₁的距离等于半径2，
即$\frac{|3k-4-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，解得k=$\frac{3}{4}$
∴所求直线l₁的方程为x=1或3x-4y-3=0


（2）直线l₁方程为y=x-1．∵PQ⊥CM，
∴CM方程为y-4=-（x-3），即x+y-7=0，
联立方程组可得$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{x+y-7=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴M点的坐标为（4，3）
（3）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，设直线方程为kx-y-k=0，
则圆心到直线l₁的距离d=$\frac{|2k-4|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
又∵△CPQ的面积S=$\frac{1}{2}$d×2$\sqrt{4-{d}^{2}}$=d$\sqrt{4-{d}^{2}}$
=$\sqrt{4{d}^{2}-{d}^{4}}$=$\sqrt{-（{d}^{2}-2）^{2}+4}$，
∴当d=$\sqrt{2}$时，S取得最大值2．
∴d=$\frac{|2k-4|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{2}$，解得k=1或k=7
∴所求直线l₁方程为：x-y-1=0或7x-y-7=0

点评 本题考查直线和圆的位置关系，涉及点到直线的距离公式和三角形的面积，属中档题．