Question

9．已知函数f（x）=2sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-2$\sqrt{3}$sin²$\frac{x}{2}$+$\sqrt{3}$．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）该函数的图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到；
（3）已知α∈（$\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}$），且f（α）=$\frac{6}{5}$，求f（α-$\frac{π}{6}$）的值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式对函数解析式化简，利用三角函数图象与性质求得函数的单调区间．
（2）利用函数图象平移法则求得答案．，
（3）先求得sin（α+$\frac{π}{3}$）的值，进而利用正弦的两角和公式求得答案．

解答 解：（1）f（x）=sinx-$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$cosx+$\sqrt{3}$=2sin（x+$\frac{π}{3}$），
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，即2kπ-$\frac{5π}{6}$≤x≤2kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，函数单调增，
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，即2kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤2kπ+$\frac{4π}{3}$，k∈Z，函数单调减，
故函数的单调增区间为[2kπ-$\frac{5π}{6}$，2kπ+$\frac{π}{6}$]，单调减区间为[2kπ+$\frac{π}{6}$，2kπ+$\frac{4π}{3}$]，k∈Z．
（2）函数f（x）的图象，由y=sinx的图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位，然后横坐标不变，纵坐标扩大为原来的2倍，得到．
（3）f（α）=2sin（α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{6}{5}$，
∴sin（α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{3}{5}$，
∵α∈（$\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}$），
∴$\frac{π}{2}$＜α+$\frac{π}{3}$＜π，
∴cos（$α+\frac{π}{3}$）=-$\sqrt{1-\frac{9}{25}}$=-$\frac{4}{5}$，
sin（α+$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{6}$）=sin（$α+\frac{π}{3}$）cos$\frac{π}{6}$-cos（$α+\frac{π}{3}$）sin$\frac{π}{6}$=$\frac{3}{5}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{4}{5}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}+4}{10}$，
∴f（$α-\frac{π}{6}$）=2sin（α+$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{6}$）=$\frac{3\sqrt{3}+4}{5}$．

点评 本题主要考查了三角函数图象与性质，三角函数恒等变换的应用．考查了学生综合素质的应用．