Question

14．已知函数f（x）=|x-2|，g（x）=-|x+3|+|m|．
（1）解关于x的不等式f（x）+a-1＞0（a∈R）；
（2）若f（ax）≥g（ax）对x∈R及a∈R恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）不等式转化为|x-2|+|a-1＞0，对参数a进行分类讨论，分类解不等式；
（2）f（ax）≥g（ax），可转化为不等式|ax-2|+|ax+3|＞m恒成立恒成立，利用不等式的性质求出|ax-2|+|ax+3|的最小值，就可以求出m的范围．

解答 解：（1）不等式f（x）+a-1＞0即为|x-2|+a-1＞0，
当a=1时，解集为x≠2，即（-∞，2）∪（2，+∞）；
当a＞1时，解集为全体实数R；
当a＜1时，解集为（-∞，a+1）∪（3-a，+∞）．
（2）f（ax）≥g（ax），即为|ax-2|＞-|ax+3|+m对任意实数x恒成立，
即|ax-2|+|ax+3|＞m恒成立，
又由不等式的性质，对任意实数x恒有|ax-2|+|ax+3|≥|（ax-2）-（ax+3）|=5，于是得m＜5，
故m的取值范围是（-∞，5）．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，分类讨论的方法，以及不等式的性质，涉及面较广，知识性较强．