Question

20．设函数f（x）=sinx-cosx-ax（0＜x＜π，常数a∈R），且f（x）同时存在极大值点和极小值点．
（1）求a的取值范围；
（2）记f（x）的极大值为M，设实数b，若?λ∈[b+1，b+e]（e是自然对数的底数）且?μ∈[b+1，b+e]，使得λ+ln（λ-b）＜M＜μ+ln（μ-b），求实数b的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）先求导，f（x）同时存在极大值点和极小值点?f′（x）=0在（0，π）内有两根，分别画出y=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）和y=a的图象，由图象可知a的范围；
（2）由f'（x）=0求得x₁，x₂，求出函数f（x）的极大值为M，根据?μ∈[b+1，b+e]，使得λ+ln（λ-b）＜M＜μ+ln（μ-b），构造g（x）=x+ln（x-b），x∈[b+1，b+e]，利用导数求出M的范围，经过计算比较得到b的范围．

解答 解：（1）∵f（x）=sinx-cosx-ax，
∴f′（x）=cosx+sinx-a=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）-a，
f（x）同时存在极大值点和极小值点?f′（x）=0在（0，π）内有两根，①
分别画出y=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）和y=a的图象，如图所示，
由图象可知a的取值范围（1，$\sqrt{2}$）
（2）由f'（x）=0得
x₁=arcsin（$\frac{a}{\sqrt{2}}$）-$\frac{π}{4}$，x₂=$\frac{3π}{4}$-arcsin（$\frac{a}{\sqrt{2}}$），
∵f（x）=-$\sqrt{2}$cos（x+$\frac{π}{4}$）-ax，x₁∈（0，$\frac{π}{4}$），x₂∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），
a→1时x₁→0，x₂→$\frac{π}{2}$，f（x₁）→-1，f（x₂）→1-$\frac{π}{2}$，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴M=f（x₂）=$\sqrt{2-{a}^{2}}$-a（$\frac{3π}{4}$-arcsin$\frac{a}{\sqrt{2}}$），
M（1）=1-$\frac{π}{2}$，M（$\sqrt{2}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{4}π$，
设实数b，若存在λ，μ∈[b+1，b+e]使得λ+ln（λ-b）＜M＜μ+ln（μ-b），②
设g（x）=x+ln（x-b），x∈[b+1，b+e]，
则g'（x）=1+$\frac{1}{x-b}$＞0，g（x）是增函数，
由②得b+1＜M＜b+e+1，
∴b+1≤1-$\frac{π}{2}$≤b+e+1，且b+1≤-$\frac{\sqrt{2}}{4}π$≤b+e+1，
∴-$\frac{π}{2}$-e≤b≤-$\frac{π}{2}$，且-$\frac{\sqrt{2}}{4}π$-e-1≤b≤-$\frac{\sqrt{2}}{4}π$-1，
∴-$\frac{π}{2}$-e≤b≤-$\frac{\sqrt{2}}{4}π$-1，
∴实数b的最大值为-$\frac{\sqrt{2}}{4}π$-1，最小值为-$\frac{π}{2}$-e．

点评 本题考查了导数和函数极值和最值的关系，培养了学生转化能力，运算能力，数形结合的能力，属于难题．