Question

2．已知集合A={x|（x-1）（x-3a+4）＜0，x∈R}，B={x|$\frac{x-3}{x-2}$≥0，x∈R}，
（1）当a=3时，求A∩B；
（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出集合B={x|x≥3，或x＜2}，a=3时便可求出集合A，然后进行交集的运算即可；
（2）讨论a的取值，从而写出集合A，再根据A⊆B即可求出每种情况下a的范围，对求得的a的范围求并集即可得出实数a的取值范围．

解答 解：（1）B={x|x≥3，或x＜2}；
当a=3时，A={x|1＜x＜5}；
∴A∩B={x|1＜x＜2，或3≤x＜5}；
（2）令（x-1）（x-3a+4）=0；
解得x=1，或x=3a-4；
①当3a-4＞1，即a$＞\frac{5}{3}$时，A={x|1＜x＜3a-4}；
若A⊆B，则3a-4≤2，a≤2；
∴$\frac{5}{3}＜a≤2$；
②当3a-4=1，即a=$\frac{5}{3}$时，A=∅，符合题意；
③当3a-4＜1，即a＜$\frac{5}{3}$时，A={x|3a-4＜x＜1}，符合题意；
综上，a的取值范围为{a|a≤2}．

点评 考查一元二次不等式、分式不等式的解法，子集的概念，以及交集的运算．