Question

14．设函数f（x）=3sin（-ωx+φ），（ω＞0，0＜φ＜π），其最小正周期为π，y=f（x）的图象的一条对称轴是直线x=$\frac{π}{6}$．
（1）求ω与φ的值；
（2）求函数y=f（x）的单调区间；
（3）求使f（x）≤$\frac{3}{2}$成立的x的取值集合．

Answer 1

分析 （1）由题意根据函数的周期性求得ω，再根据图象的对称性求得φ 值，可得函数的解析式．
（2）由条件利用正弦函数的单调性求得函数y=f（x）的单调区间．
（3）由f（x）≤$\frac{3}{2}$，求得sin（2x-$\frac{5π}{6}$）≥-$\frac{1}{2}$，令2kπ-$\frac{π}{6}$≤2x-$\frac{5π}{6}$≤2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈z，由此求得x的范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=3sin（-ωx+φ）=-3sin（ωx-φ）的最小正周期为$\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2．
∵y=f（x）的图象的一条对称轴是直线x=$\frac{π}{6}$，∴2×$\frac{π}{6}$-φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，即 φ=-kπ-$\frac{π}{6}$，
再结合0＜φ＜π，可得φ=$\frac{5π}{6}$．
（2）由以上可得f（x）=-3sin（2x-$\frac{5π}{6}$），令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{5π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，
求得kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，故函数的增区间为[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈z．
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{5π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈z，
求得kπ+$\frac{2π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{7π}{6}$，故函数的减区间为[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{7π}{6}$]，k∈z．
（3）由f（x）=-3sin（2x-$\frac{5π}{6}$）≤$\frac{3}{2}$，求得sin（2x-$\frac{5π}{6}$）≥-$\frac{1}{2}$，令2kπ-$\frac{π}{6}$≤2x-$\frac{5π}{6}$≤2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈z，
求得kπ+$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+π，∴f（x）≤$\frac{3}{2}$成立的x的集合为{x|kπ+$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+π，k∈z}．

点评 本题主要考查正弦函数的周期性、单调性、定义域和值域，以及它的图象的对称性，属于中档题．