Question

7．已知在（$\root{3}{x}$-$\frac{1}{2\root{3}{x}}$）ⁿ（n∈N^*）的展开式中，第6项为常数项．
（1）求n的值及展开式中含x²的项的系数；
（2）①求展开式中所有有理项；
②求展开式中系数的绝对值最大的项．

Answer 1

分析 （1）根据第六项为常数项，x的幂指数为零，求得n的值，在通项公式中，令x的幂指数为2，可得展开式中含x²的项的系数．
（2））①令x的幂指数为整数，求得自然数r的值，可得展开式中有理项．
②设展开式中第r+1项系数的绝对值最大，由（1）知$\left\{\begin{array}{l}{{（\frac{1}{2}）}^{r-1}{•C}_{10}^{r-1}{≤（\frac{1}{2}）}^{r}{•C}_{10}^{r}}\\{{（\frac{1}{2}）}^{r+1}{•C}_{10}^{r+1}{≤（\frac{1}{2}）}^{r}{•C}_{10}^{r}}\end{array}\right.$，求得r的范围，可得整数r的值，从而得到展开式中系数的绝对值最大的项．

解答 解：（1）由题意可得T₆=${C}_{n}^{5}$•${x}^{\frac{n-5}{3}}$•${（-\frac{1}{2}{•x}^{-\frac{1}{3}}）}^{5}$=-$\frac{1}{32}$•${C}_{n}^{5}$•${x}^{\frac{n-10}{3}}$ 为常数项，故有n-10=0，∴n=10．
故通项公式为 T_r+1=${C}_{10}^{r}$•${（-\frac{1}{2}）}^{r}$•${x}^{\frac{10-2r}{3}}$，令$\frac{10-2r}{3}$=2，求得r=2，故展开式中含x²的项的系数为$\frac{1}{4}$•${C}_{10}^{2}$=$\frac{45}{4}$．

（2）①由（1）知$\frac{10-2r}{3}$ 为整数，且r=0，1，2，3，…10，故r=2，5，8，
∴展开式中有理项为 T₃=$\frac{45}{4}$x²，T₆=-$\frac{63}{8}$，T₉=$\frac{5}{25{6x}^{2}}$．
②设展开式中第r+1项系数的绝对值最大，由（1）知$\left\{\begin{array}{l}{{（\frac{1}{2}）}^{r-1}{•C}_{10}^{r-1}{≤（\frac{1}{2}）}^{r}{•C}_{10}^{r}}\\{{（\frac{1}{2}）}^{r+1}{•C}_{10}^{r+1}{≤（\frac{1}{2}）}^{r}{•C}_{10}^{r}}\end{array}\right.$，
解得 $\frac{8}{3}$≤r≤$\frac{11}{3}$，又r为整数，所以r=3，展开式中系数的绝对值最大的项为T₄=-15${x}^{\frac{4}{3}}$．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于中档题．