Question

16．若方程2log₂x-log₂（x-1）=m有两个解，则实数m的取值范围是（2，+∞）．

Answer 1

分析 据对数的真数大于0求出定义域，利用对数的运算法则转化成x²-2^mx+2^m=0．方程在x＞1时有两个解，解方程即可．

解答 解：由题得$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x-1＞0}\end{array}\right.$得x＞1．
又∵2log₂x-log₂（x-1）=log₂（$\frac{{x}^{2}}{x-1}$）=m，
∴可得$\frac{{x}^{2}}{x-1}$=2^m，即x²-2^mx+2^m=0．方程在x＞1时有两个解，
可得：$\left\{\begin{array}{l}{2}^{m-1}＞1\\ 1-{2}^{m}+{2}^{m}＞0\\△={2}^{2m}-4×{2}^{m}＞0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}m＞1\\ m＞2\end{array}\right.$
所以实数m的取值范围是：（2，+∞）
故答案为：（2，+∞）．

点评 本题考查对数的真数大于0、对数的运算法则、二次方程的解法，解题过程中要注意对数的定义域，属于中档题．