Question

7．对于函数f（x），若满足f（x₀）=x₀，则称x₀为f（x）的不动点．现有函数g（x）=e^x+x²-t（t∈R），记h（x）=g（g（x）），若存在m∈[0，1]为h（x）的不动点，则t的取值范围是（　　）

• A． [0，1]
• B． [1，e]
• C． [1，1+e]
• D． [e，e+1]

Answer 1

分析 由不动点的定义即可得到g（m）=m，从而可得到t=e^m+m²-m，可将该式看成关于m的函数，通过求导可以判断该函数在[0，1]上单调递增，从而t∈[t（0），t（1）]=[1，e]，这样即可找到正确选项．

解答 解：根据条件：g（g（m））=m；
∴g（m）=m；
即e^m+m²-t=m；
∴t=e^m+m²-m，t′=e^m+2m-1；
∵m∈[0，1]；
∴e^m≥1；
∴t′≥0；
∴函数t=e^m+m²-m在m∈[0，1]上是增函数；
m=0时，t=1，m=1时，t=e；
∴1≤t≤e；
∴t的取值范围是[1，e]．
故选：B．

点评 考查对不动点定义的理解，由g（g（m））=m能得到g（m）=m，根据导数符号判断函数单调性的方法，以及函数单调性定义的运用．