Question

18．在△ABC中，若$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$=$\frac{tanA}{tanB}$，则△ABC为（　　）

• A． 直角三角形
• B． 等腰三角形
• C． 等腰直角三角形
• D． 等腰三角形或直角三角形

Answer 1

分析 由正弦定理得$\frac{si{n}^{2}A}{si{n}^{2}B}$=$\frac{tanA}{tanB}$，求得sinAcosA=sinBcosB，进而可知sin2A=sin2B，又因为A，B为三角形内角，所以2A=2B或2A+2B=180°即A=B或A+B=90°，最后判断出三角形的形状．

解答 解：∵$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$=$\frac{tanA}{tanB}$，
由正弦定理得$\frac{si{n}^{2}A}{si{n}^{2}B}$=$\frac{tanA}{tanB}$，即$\frac{sinA}{sinB}$=$\frac{cosA}{cosB}$，
∴sinAcosA=sinBcosB，
∴sin2A=sin2B，
又∵A，B为三角形内角，
∴2A=2B或2A+2B=180°即A=B或A+B=90°，
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，
故选：D．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理、诱导公式的应用．注意对通过边角问题的变化来解决解三角形问题．