Question

10．复数z满足|2z-1+i|=4，w=z（1-i）+2+i，
（1）求w在复平面上对应点P的轨迹C．
（2）在复平面上点Q（0，4）向轨迹C做切线，分别切于A、B两点，求直线AB的方程．

Answer 1

分析 （1）根据复数的几何意义即可求w在复平面上对应点P的轨迹C．
（2）结合圆的切线性质进行求解即可．

解答 解：（1）设w=x+yi，
则由w=z（1-i）+2+i得z=$\frac{w-2-i}{1-i}$=$\frac{1}{2}[（x-y-1）+（x+y-3）i]$，
∵复数z满足|2z-1+i|=4，
∴|2z-1+i|²=（x-y-2）²+（x+y-2）²=2[（x-2）²+y²]=16，
即（x-2）²+y²=8，
即w在复平面上对应点P的轨迹C为（x-2）²+y²=8．
（2）设切点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则对应的切线方程分别为（x-2）（x₁-2）+yy₁=8，（x-2）（x₂-2）+yy₂=8，
∵Q（0，4）在两条切线上，
∴-2（x₁-2）+4y₁=8，-2（x₂-2）+4y₂=8，
因此A，B两点都在直线-2（x-2）+4y=8，
即AB为：x-2y+2=0．

点评 本题主要考查复数的几何意义，以及复数的基本运算，利用待定系数法是解决本题的关键．