Question

5．已知函数y=xf′（x）的图象如图所示（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），给出以下说法：
①函数f（x）在区间（1，+∞）上是增函数；
②函数f（x）在区间（-1，1）上单调递增； ③函数f（x）在x=-$\frac{1}{2}$处取得极大值；
④函数f（x）在x=1处取得极小值．
其中正确的说法是①④．

Answer 1

分析 根据函数y=xf′（x）的图象，依次判断f（x）在区间（-∞，-1），（-1，0），（0，1），（1，+∞）上的单调性画出函数f（x）的大致图象，从而可以得到正确答案．

解答 解：由函数y=xf′（x）的图象可知：
当x＜-1时，xf′（x）＜0，f′（x）＞0，此时f（x）增；
当-1＜x＜0时，xf′（x）＞0，f′（x）＜0，此时f（x）减；
当0＜x＜1时，xf′（x）＜0，f′（x）＜0，此时f（x）减；
当x＞1时，xf′（x）＞0，f′（x）＞0，此时f（x）增．
综上所述，函数f（x）大致图象如图示：
，
故①④正确，
故答案为：①④．

点评 本题间接利用导数研究函数的单调性，考查函数的图象问题．本题有一定的代表性，是一道好题．