Question

16．若函数f（x）=2cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx+m在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值为2，求函数f（x）的递增区间．

Answer 1

分析 利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再根据函数的最大值求出m，可得f（x）的解析式；再利用正弦函数的单调性求得f（x）的递增区间．

解答 解：∵函数f（x）=2cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx+m=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x+1+m=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+m+1，
在区间[0，$\frac{π}{2}$]上，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
故f（x）的最大值为2+m+1，再根据f（x）的最大值为2，可得2+m+1=2，
故m=-1，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，求得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，故函数的增区间为[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈z．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，正弦函数的单调性，属于基础题．