Question

20．函数f（x）=$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+a为奇函数，则实数a=$\frac{1}{2}$；若函数y=f（x）-m存在零点，则实数m的取值范围$（-∞，-\frac{1}{2}）∪（\frac{1}{2}，+∞）$．

Answer 1

分析 根据奇函数的性质列出方程求出a的值，将“函数y=f（x）-m存在零点”转化为“方程$\frac{1}{{2}^{x}-1}=m-\frac{1}{2}$存在实数根”，设t=2^x-1求出t的范围，再画出函数y=$\frac{1}{t}$与y=$m-\frac{1}{2}$的图象，根据图象有交点列出不等式求出m的范围．

解答 解：∵函数f（x）=$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+a为奇函数，
∴f（-1）=-f（1），则$\frac{1}{{2}^{-1}-1}+a$=-（$\frac{1}{{2}^{1}-1}$+a），
解得a=$\frac{1}{2}$，
∴y=f（x）-m=$\frac{1}{{2}^{x}-1}+\frac{1}{2}$-m，
设t=2^x-1，则t＞-1且t≠0，
∵函数y=f（x）-m存在零点，∴方程$\frac{1}{{2}^{x}-1}=m-\frac{1}{2}$存在实数根，
∴函数y=$\frac{1}{t}$与y=$m-\frac{1}{2}$的图象有交点，如图：
由图得，$m-\frac{1}{2}$＞0或$m-\frac{1}{2}$＜-1，
解得m$＞\frac{1}{2}$或m$＜-\frac{1}{2}$，
∴实数m的取值范围是：$（-∞，-\frac{1}{2}）∪（\frac{1}{2}，+∞）$，
故答案为：$\frac{1}{2}$；$（-∞，-\frac{1}{2}）∪（\frac{1}{2}，+∞）$．

点评 本题考查函数的奇偶性，函数的零点、方程的根与函数图象的交点之间的转化问题，以及数形结合思想，属于中档题．