Question

5．设函数h（x）=$\frac{1}{2}a{x^2}$+2ax（a∈R），g（x）=lnx．
（1）若f（x）=h（x）-3g（x）在x=1处有极值，求a；
（2）若f（x）在[2，3]上为增函数，求a的取值范围；
（3）证明：?x∈（0，+∞），$\frac{x-1}{x}$≤g（x）≤x-1．

Answer 1

分析 （1）先求出函数f（x）的导数，根据f′（1）=0，解出即可；
（2）问题转化为$a≥\frac{3}{{{x^2}+2x}}$对x∈[2，3]恒成立，求出a的范围即可；
（3）令m（x）=x-1-g（x），求出函数m（x）的导数，通过讨论x的范围，从而证出结论．

解答 解：（1）由已知可得$f（x）=\frac{1}{2}a{x^2}+2ax-3lnx（a∈R）$，其定义域为（0，+∞），
又$f'（x）=ax+2a-\frac{3}{x}=\frac{{a{x^2}+2ax-3}}{x}$，
由已知f′（1）=3a-3=0，∴a=1．
（2）$f'（x）=\frac{{a{x^2}+2ax-3}}{x}≥0$对x∈[2，3]恒成立，
∴$a≥\frac{3}{{{x^2}+2x}}$，对x∈[2，3]恒成立，
因为x∈[2，3]，所以$\frac{3}{{{x^2}+2x}}$的最大值为$\frac{3}{8}$，
所以$a≥\frac{3}{8}$；
（3）证明：令m（x）=x-1-g（x）=x-1-lnx，则$m'（x）=\frac{x-1}{x}$，
当0＜x≤1时，m'（x）≤0，函数m（x）单调递减；
当1＜x时，m'（x）＞0，函数m（x）单调递增；
故m（x）在x=1处取得最小值m（1）=0，
即?x＞0，有m（x）≥m（0）=0，故g（x）≤x-1．
令$n（x）=\frac{x-1}{x}-g（x）=\frac{x-1}{x}-lnx$，则$n'（x）=\frac{1-x}{x^2}$，
当0＜x≤1时，n'（x）≥0，函数n（x）单调递增；
当1＜x时，n'（x）＜0，函数n（x）单调递减；
故n（x）在x=1处取得最大值n（1）=0，
即?x＞0，有n（x）≤n（0）=0，故$\frac{x-1}{x}≤g（x）$，
所以?x∈（0，+∞），$\frac{x-1}{x}≤g（x）$≤x-1．

点评 本题考查了函数的单调性、函数的最值问题，考查导数的应用，本题是一道难题．