Question

17．已知函数 f（x）=e^x-ax-1（a∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数F（x）=f（x）-$\frac{1}{2}{x^2}$在[1，2]上有且仅有一个零点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调区间；
（2）分离参数得$a=\frac{{{e^x}-\frac{1}{2}{x^2}-1}}{x}$，令$g（x）=\frac{{{e^x}-\frac{1}{2}{x^2}-1}}{x}$（x∈[1，2]），通过求导得到函数g（x）的单调性，从而求出g（x）的最大值、最小值，进而求出a的范围．

解答 解：（1）f′（x）=e^x-a，
当a≤0时，f′（x）≥0，则f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，
当a＞0时，f（x）在（-∞，lna）上单调递减，f（x）在（lna，+∞）上单调递增．
（2）由$F（x）=f（x）-\frac{1}{2}{x^2}=0$，得$a=\frac{{{e^x}-\frac{1}{2}{x^2}-1}}{x}$，
令$g（x）=\frac{{{e^x}-\frac{1}{2}{x^2}-1}}{x}$（x∈[1，2]），
则$g'（x）=\frac{{（x-1）{e^x}-\frac{1}{2}{x^2}+1}}{x^2}$
令$h（x）=（x-1）{e^x}-\frac{1}{2}{x^2}+1$，h′（x）=x（e^x-1），
当1≤x≤2时，h′（x）＞0，∴h（x）在[1，2]上单调递增，
∴$h（x）≥h（1）=\frac{1}{2}＞0$，g′（x）＞0，∴g（x）在[1，2]上单调递增，
∴$g（x）=\frac{{{e^x}-\frac{1}{2}{x^2}-1}}{x}$在[1，2]上的最小值为$g（1）=e-\frac{3}{2}$，最大值为$g（2）=\frac{1}{2}（{e^2}-3）$，
∴当$e-\frac{3}{2}≤a≤\frac{1}{2}（{{e^2}-3}）$时，函数$F（x）=f（x）-\frac{1}{2}{x^2}$在[1，2]上有且仅有一个零点．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，（2）中分离出a，求出相关函数的单调性是解答本题的关键，本题是一道中档题．