Question

2．关于函数$f（x）={sin^2}x-{（\frac{2}{3}）^{|x|}}+\frac{1}{2}$，有下面四个结论：
①f（x）是偶函数；      
②无论x取何值时，f（x）＜$\frac{1}{2}$恒成立；
③f（x）的最大值是$\frac{3}{2}$；  
④f（x）的最小值是-$\frac{1}{2}$．
其中正确的结论是①④．

Answer 1

分析 根据题意：依次分析命题：①运用f（-x）和f（x）关系，判定函数的奇偶性；②取特殊值法，判定不等式是否成立；③④运用sin²x=$\frac{1-cos2x}{2}$进行转化，然后利用cos2x和（$\frac{2}{3}$）^|x|，求函数f（x）的最值，综合可得答案

解答 解：对于结论①，y=f（x）的定义域为x∈R，且f（-x）=sin²（-x）-（$\frac{2}{3}$）|-x|+$\frac{1}{2}$=sin²x-（$\frac{2}{3}$）|x|+$\frac{1}{2}$=f（x），则函数f（x）为偶函数，因此结论①正确．
对于结论②，取特殊值当x=$\frac{π}{2}$时，∴f（$\frac{π}{2}$）=1-${（\frac{2}{3}）}^{\frac{π}{2}}$+$\frac{1}{2}$＞$\frac{1}{2}$，因此结论②错．
对于结论③，f（x）=$\frac{1-cos2x}{2}$-（$\frac{2}{3}$）^|x|+$\frac{1}{2}$=1-$\frac{1}{2}$cos2x-（$\frac{2}{3}$）^|x|，-1≤cos2x≤1，
∴-$\frac{1}{2}$≤1-$\frac{1}{2}$cos2x≤$\frac{3}{2}$，（$\frac{2}{3}$）^|x|＞0
故1-$\frac{1}{2}$cos2x-（$\frac{2}{3}$）^|x|＜$\frac{3}{2}$，即结论③错．
对于结论④，y=cos2x，y=（$\frac{2}{3}$）^|x|在x=0时同时取得最大值，
所以f（x）=1-$\frac{1}{2}$cos2x-（$\frac{2}{3}$）^|x|在x=0时可取得最小值-$\frac{1}{2}$，即结论④是正确的．
故答案为：①④．

点评 本题涉及到函数奇偶性的判断，同时还涉及到三角函数、指数函数的范围问题，此题考查了函数奇偶性的判断及借助不等式知识对函数值域范围进行判断