Question

7．已知命题p：关于实数x的方程x²+mx+1=0有两个不等的负根；命题q：关于实数x的方程4x²+4（m-2）x+1=0无实根．命题“p或q”真，“p且q”假，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 根据条件分别求出命题p，q的等价条件，结合复合命题之间的关系进行求解即可．

解答 解：若方程x²+mx+1=0有两不等的负根，
则$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{△={m}^{2}-4＞0}\end{array}\right.$，
解得m＞2
即命题p：m＞2，…（4分）
若方程4x²+4（m-2）x+1=0无实根，
则△=16（m-2）²-16=16（m²-4m+3）＜0
解得：1＜m＜3．即命题q：1＜m＜3．…（8分）
由题意知，命题p、q应一真一假，
即命题p为真，命题q为假或命题p为假，命题q为真．…（10分）
∴$\left\{\begin{array}{l}{m＞2}\\{m≤1或m≥3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m≤2}\\{1＜m＜3}\end{array}\right.$，
解得：m≥3或1＜m≤2．…（14分）

点评 本题主要考查复合命题真假之间的关系以及应用，根据条件求出命题p，q的等价条件是解决本题的关键．