Question

19．已知函数f（x）=sin²ωx+$\sqrt{3}$sinωxsin（ωx+$\frac{π}{2}$）（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）求函数f（x）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，结合ω＞0，由周期公式即可解得ω的值．
（2）由（1）可得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，由正弦函数的性质可得sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-1，1]，即可得解．

解答 解：（1）∵f（x）=sin²ωx+$\sqrt{3}$sinωxsin（ωx+$\frac{π}{2}$）
=$\frac{1-cos2ωx}{2}$+$\sqrt{3}$sinωxcosωx
=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
∴由ω＞0，$π=\frac{2π}{2ω}$可解得：ω=1．
（2）由（1）可得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
∵sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-1，1]，
∴f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的图象和性质，属于基础题．