Question

12．已知定点A（3，2），若点P为抛物线y²=2x上的动点，则当P到抛物线的焦点F的距离|PF|与|PA|之和最小时，点P的坐标为（2，2）．

Answer 1

分析 求出焦点坐标和准线方程，把|PA|+|PF|转化为PA|+|PM|，利用 当P、A、M三点共线时，|PA|+|PF|取得最小值，
把y=2代入抛物线y²=2x，解得x值，即得P的坐标．

解答 解：由题意得 F（$\frac{1}{2}$，0），准线方程为 x=-$\frac{1}{2}$，设点P到准线的距离为d=|PM|，
则由抛物线的定义得|PA|+|PF|=|PA|+|PM|，
故当P、A、M三点共线时，|PA|+|PF|取得最小值为|AM|=3-（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{7}{2}$．
把 y=2代入抛物线y²=2x 得 x=2，故点P的坐标是（2，2），
故答案为：（2，2）．

点评 本题考查抛物线的定义和性质得应用，体现了转化的数学思想．