Question

20．已知直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t+4\sqrt{2}\end{array}$（t是参数），⊙C的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{2}cos（θ+\frac{π}{4}）$．
（Ⅰ）求圆心C的直角坐标；
（Ⅱ）试判断直线l与⊙C的位置关系．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化简基本方程为普通方程，然后求解圆心C的直角坐标；
（Ⅱ）求出直线的参数方程，利用圆心到直线的距离，判断直线l与⊙C的位置关系．

解答 （本小题满分10分）
解：（I）由⊙C的极坐标方程为$ρ=2\sqrt{2}cos（θ+\frac{π}{4}）$，
展开化为${ρ^2}=2\sqrt{2}ρcos（θ+\frac{π}{4}）=2ρ（cosθ-sinθ）$，
即x²+y²=2x-2y，
化为（x-1）²+（y+1）²=2
∴圆心C（1，-1）．…（5分）
（II）由直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{\sqrt{2}}{2}t\\ y=\frac{\sqrt{2}}{2}t+4\sqrt{2}\end{array}\right.$（t是参数），消去参数t可得x-y-4$\sqrt{2}$=0，
∴圆心C到直线的距离$d=\frac{{|{2-4\sqrt{2}}|}}{{\sqrt{2}}}=4-\sqrt{2}＞\sqrt{2}$，
因此直线l与圆相离．…．（10分）

点评 本题考查参数方程以及极坐标方程的应用，点到直线的距离的距离公式的应用，考查计算能力．