Question

11．已知（1+3x²）ⁿ的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992，
（1）求n值；
（2）求展开式中系数最大项．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：4ⁿ-2ⁿ=992，由此求得n的值．
（2）设第r+1项系数最大，则$\left\{\begin{array}{l}C_5^r{3^r}≥C_5^{r-1}{3^{r-1}}\\ C_5^r{3^r}≥C_5^{r+1}{3^{r+1}}\end{array}\right.$，解得r的范围，可得自然数r的值，从而利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中系数最大项．

解答 解：（1）由题意可得：4ⁿ-2ⁿ=992，所以n=5．
（2）设第r+1项系数最大，则$\left\{\begin{array}{l}C_5^r{3^r}≥C_5^{r-1}{3^{r-1}}\\ C_5^r{3^r}≥C_5^{r+1}{3^{r+1}}\end{array}\right.$，解得$4≤r≤\frac{9}{2}$，
所以r=4，即第5项系数最大，第5项为$C_5^4{（3{x^2}）^4}$，即为405x⁸ ．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，注意各项系数和与各项的二项式系数和的区别，属于基础题．