Question

3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=6，sinA-sinC=
sin（A-B）
（1）求B的大小．
（2）若b=$2\sqrt{7}$，求△ABC的面积；
（3）若1≤a≤6，求sinC的取值范围．

Answer 1

分析 （1）因为利用两角和公式对已知等式化简可求得cosB的值，进而求得B．
（2）根据余弦定理求得a，继而利用三角形面积公式求得答案．
（3）利用余弦定理求得b，进而根据正弦定理求得sinC的表达式，根据a范围确定sinC的范围．

解答 解：（1）因为sinA=sinC+sin（A-B）=sin（A+B）+sin（A-B）=2sinAcosB
所以cosB=$\frac{1}{2}$．B=60°
（2）根据余弦定理b²=a²+c²-2accosB，得（2$\sqrt{7}$）²=a²+6²-12acos$\frac{π}{3}$，即a²-6a+8=0，
解得：a=2或a=4$当a=2时，{S_{△ABC}}=\frac{1}{2}ac{sinB}=\frac{1}{2}•2•6•sin\frac{π}{3}=3\sqrt{3}$；当a=4时，S△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$•4•6•sin$\frac{π}{3}$=6$\sqrt{3}$．
（3）由余弦定理，b²=a²+c²-2accosB=a²-6a+36，
即$b=\sqrt{{a^2}-6a+36}$，
由正弦定理$\frac{c}{sinc}=\frac{b}{sinB}，即sinC=\frac{csinB}{b}=\frac{{6•\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}{{\sqrt{{a^2}-6a+36}}}=\frac{{3\sqrt{3}}}{{\sqrt{{{（a-3）}^2}+27}}}$，
∵$a∈[1，6]，\sqrt{{{（a-3）}^2}+27}∈[3\sqrt{3}，6]$，
从而sinC的取值范围为$[{\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1}]$

点评 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用．作为解三角形的常用公式，学生应能熟练记忆．