Question

18．设$f（x）=\frac{4^x}{{{4^x}+2}}$，若0＜a＜1，则f（a）+f（1-a）=1，$f（\frac{1}{2015}）+f（\frac{2}{2015}）+f（\frac{3}{2015}）+…+f（\frac{2014}{2015}）$=1007．

Answer 1

分析 由已知中$f（x）=\frac{4^x}{{{4^x}+2}}$，可得当0＜a＜1时，f（a）+f（1-a）=1，进而得到$f（\frac{1}{2015}）+f（\frac{2}{2015}）+f（\frac{3}{2015}）+…+f（\frac{2014}{2015}）$的值．

解答 解：∵$f（x）=\frac{4^x}{{{4^x}+2}}$，
∴当0＜a＜1时，
f（a）+f（1-a）=$\frac{{4}^{a}}{{4}^{a}+2}$+$\frac{{4}^{1-a}}{{4}^{1-a}+2}$=$\frac{{4}^{a}}{{4}^{a}+2}$+$\frac{{4}^{1-a}•{2}^{2a-1}}{{（4}^{1-a}+2）•{2}^{2a-1}}$=$\frac{{4}^{a}}{{4}^{a}+2}$+$\frac{{2}^{\;}}{{4}^{a}+2}$=1，
故$f（\frac{1}{2015}）+f（\frac{2}{2015}）+f（\frac{3}{2015}）+…+f（\frac{2014}{2015}）$=1007×1=1007，
故答案为：1，1007．

点评 本题考查的知识点是函数求值，指数的运算性质，其中根据已知中的函数解析式，求出当0＜a＜1时，f（a）+f（1-a）=1，是解答的关键．