Question

10．（Ⅰ）设$M=\frac{{sin（-{{220}^0}）}}{{cos（-{{310}^0}）tan{{315}^0}}}$，求M的值；
（Ⅱ）记p=sinθ+cosθ，试用p表示sin⁴θ+cos⁴θ；
（Ⅲ）设$0＜x＜\frac{π}{2}$，$cos（x+\frac{π}{3}）=\frac{1}{4}$，求sinx．

Answer 1

分析 利用三角函数的诱导公式、基本关系式角的等价变换、两角和与差的三角函数公式分别化简求值．

解答 解：（Ⅰ）$M=\frac{{sin（-{{220}^0}）}}{{cos（-{{310}^0}）tan{{315}^0}}}=\frac{{sin{{40}^0}}}{{cos{{50}^0}×（-1）}}=-1$；
（Ⅱ）因为p=sinθ+cosθ，所以2sinθcosθ=p²-1，${sin^4}θ+{cos^4}θ=1-2{sin^2}θ{cos^2}θ=1-\frac{1}{2}{（{p^2}-1）^2}$=$-\frac{1}{2}{p^4}+{p^2}+\frac{1}{2}$；
（Ⅲ）由$0＜x＜\frac{π}{2}$，$cos（x+\frac{π}{3}）=\frac{1}{4}$，sin（x+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，$sinx=sin[（x+\frac{π}{3}）-\frac{π}{3}]=sin（x+\frac{π}{3}）cos\frac{π}{3}-cos（x+\frac{π}{3}）sin\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}×\frac{1}{2}-\frac{1}{4}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{15}-\sqrt{3}}{8}$．

点评 利用三角函数的诱导公式、基本关系式、角的等价变换、两角和与差的三角函数公式等知识；属于易错的基础题．