Question

20．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax+b（a，b∈R）在x=2处取得极小值-$\frac{4}{3}$．
（Ⅰ）求f（x）；
（Ⅱ）若$\frac{1}{3}$x³+ax+b≤m²+m+$\frac{10}{3}$对x∈[-4，0]恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求导，再根据在x=2处取得极小值$-\frac{4}{3}$，得到$\left\{\begin{array}{l}{f^/}（2）=0\\ f（2）=-\frac{4}{3}\end{array}\right.$，解得即可，
（2）先根据导数求出函数f（x）的最大值，再解不等式即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=x²+a，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f^/}（2）=0\\ f（2）=-\frac{4}{3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}a=-4\\ b=4\end{array}\right.$，
∴$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-4x+4$．
（Ⅱ）f′（x）=x²+a，令有x=±2．
当x∈[-4，0]时，f（x）在[-4，-2]上递增，在[-2，0]上递减，
故f（x）在[-4，0]上最大值$f（-2）=\frac{28}{3}$，
依题意，${m^2}+m+\frac{10}{3}≥\frac{28}{3}$，
即m²+m+6≥0，
解得m＞2或m＜-3，
∴{m|m＞2或m＜-3}．

点评 本题考查了导数和函数的极值的和最值的关系以及恒成立问题，属于中档题．