Question

15．已知等比数列{a_n}中a₂=2，a₅=$\frac{1}{4}$，则a₁•a₂+a₂•a₃+a₃•a₄+…+a_n•a_n+1等于（　　）

• A． 16（1-4^-n）
• B． 16（1-2ⁿ）
• C． $\frac{32}{3}（1-{4^{-n}}）$
• D． $\frac{32}{3}（1-{2^{-n}}）$

Answer 1

分析 设等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q，由等比数列的通项公式求出a₁和q，代入a_n•a_n+1化简并判断出数列{a_n•a_n+1}是等比数列，利用等比数列的前n项和公式化简所求的式子．

解答 解：设等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q，
因为等比数列{a_n}中，a₂=2，a₅=$\frac{1}{4}$，
所以${q}^{3}=\frac{{a}_{5}}{{a}_{2}}$=$\frac{1}{8}$，则q=$\frac{1}{2}$，
由a₂=2得，a₁=4，
所以a_n•a_n+1=4•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$（4$•\frac{1}{{2}^{n}}$）=$\frac{1}{{2}^{2n-5}}$=8•$\frac{1}{{4}^{n-1}}$，
所以数列{a_n•a_n+1}是以8为首项、$\frac{1}{4}$为公比的等比数列，
则a₁•a₂+a₂•a₃+a₃•a₄+…+a_n•a_n+1=$\frac{8（1-\frac{1}{{4}^{n}}）}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{32}{3}（1-{4}^{-n}）$，
故选：C．

点评 本题考查等比数列的通项公式和前n项和公式的应用，以及等比数列的判断，属于中档题．