Question

7．对于给定的正数K，定义函数f_K（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），}&{f（x）≤K}\\{K，}&{f（x）＞K}\end{array}\right.$，其中函数f（x）=$\frac{lnx+1}{{e}^{x}}$，恒有f_K（x）=f（x），则（　　）

• A． K的最大值为$\frac{1}{e}$
• B． K最小值为$\frac{1}{e}$
• C． K的最大值为2
• D． K的最小值为2

Answer 1

分析 由已知条件可得k≥f（x）_max，用导数确定函数的单调性，求解函数的最值，进而求出k的范围，进一步得出所要的结果．

解答 解：∵函数f_K（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），}&{f（x）≤K}\\{K，}&{f（x）＞K}\end{array}\right.$，
∴等价为K≥f（x）_max，
∵f（x）=$\frac{lnx+1}{{e}^{x}}$，
∴f′（x）=$\frac{\frac{1}{x}•{e}^{x}-（lnx+1）{e}^{x}}{（{e}^{x}）^{2}}$=$\frac{\frac{1}{x}-lnx-1}{{e}^{x}}$，
设g（x）=$\frac{1}{x}$-lnx-1，
则g（x）在（0，+∞）单调递减，且g（1）=0，
令f′（x）=0，即$\frac{1}{x}$-lnx-1=0，
解出x=1，
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
故当x=1时，f（x）取到极大值同时也是最大值f（1）=$\frac{ln1+1}{e}$=$\frac{1}{e}$．
故当k≥$\frac{1}{e}$时，恒有f_k（x）=f（x）
因此K的最小值为$\frac{1}{e}$．
故选：B．

点评 本题考查与函数有关的新定义题目，利用导数求闭区间上函数的最值，考查运算求解能力，推理论证能力，解题时要认真审题，仔细解答．综合性较强，有一定的难度．