Question

2．已知函数$f（x）=\frac{{a•{2^x}+a-2}}{{{2^x}+1}}$是奇函数．
（I）求实数a的值；
（II）求f（x）在定义域上的单调性；
（Ⅲ）若方程f（x）=t在（-∞，0）上有解，证明：$-\frac{1}{3}＜f（t）＜0$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）函数f（x）定义域为R，且为奇函数，得到f（0）=0，解出a的值即可；
（Ⅱ）通过求导得到f′（x）＞0，从而求出函数的单调性；
（Ⅲ）先根据x的范围，求出t的范围，从而得到2^t的范围，进而求出f（t）的范围．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）定义域为R，且为奇函数，
∴f（0）=0⇒a=1
此时，$f（x）=\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}$，经检验知f（x）为奇函数，
故a=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，
∴f′（x）=$\frac{{2}^{x+1}ln2}{{{（2}^{x}+1）}^{2}}$＞0，
∴函数f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．
（Ⅲ）由题意，方程$t=\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}\;\;x∈（-∞，0）$有解，
$⇒{2^x}=\frac{1+t}{1-t}\;\;\;x∈（-∞，0）$有解
又$x∈（-∞，0）⇒{2^x}∈（0，1）⇒0＜\frac{1+t}{1-t}＜1⇒-1＜t＜0$；
$f（t）=\frac{{{2^t}-1}}{{{2^t}+1}}⇒{2^t}=\frac{1+f（t）}{1-f（t）}$，
又$\frac{1}{2}＜{2^t}＜1⇒\frac{1}{2}＜\frac{1+f（t）}{1-f（t）}＜1$，
$⇒-\frac{1}{3}＜f（t）＜0$．

点评 本题考查了函数的奇偶性的性质，考查函数的单调性，考查指数函数的性质，第（Ⅲ）问中先根据x的范围，求出t的范围，从而得到2^t的范围是解题的关键，本题是一道中档题．