Question

12．在△ABC中，已知∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且∠C=2∠A．
（Ⅰ）若∠B为锐角，求$\frac{c}{a}$的取值范围；
（Ⅱ）若4cosA=3，a+c=20，求b．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得$\frac{π}{6}$＜A＜$\frac{π}{3}$，由正弦定理和二倍角公式可得$\frac{c}{a}$=2cosA，再由余弦函数的单调性，计算即可得到所求范围；
（Ⅱ）由条件可得$\frac{c}{a}$=2cosA=$\frac{3}{2}$，结合a+c=20，可得a=8，c=12，由余弦定理，可得b=8或10，检验即可得到b=10．

解答 解：（Ⅰ）0＜B=π-3A＜$\frac{π}{2}$，即有$\frac{π}{6}$＜A＜$\frac{π}{3}$，
由正弦定理得$\frac{c}{a}$=$\frac{sinC}{sinA}$=$\frac{sin2A}{sinA}$=2cosA，
由$\frac{1}{2}＜$cosA＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即有1＜$\frac{c}{a}$＜$\sqrt{3}$；
（Ⅱ）由$\frac{c}{a}$=2cosA=$\frac{3}{2}$，即有a+c=a+$\frac{3}{2}$a=20，
解得a=8，c=12，
由余弦定理得a²=b²+c²-2bc•$\frac{3}{4}$，
得b²-18b+80=0，解得b=8或b=10，
又b=8时，a=b，A=B，
由A+B+C=π得4A=π，
即有cosA=cos$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$≠$\frac{3}{4}$舍去，
故b=10．

点评 本题考查正弦定理和余弦定理的运用，同时考查二倍角公式和余弦函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．