Question

4．正方形ABCD的边长为2，E为CD中点，F为线段BE上的动点，则$\overrightarrow{FB}•\overrightarrow{FC}$的取值范围是$[{-\frac{4}{5}，1}]$．

Answer 1

分析 以点A为原点建立直角坐标系，求出EB直线方程，表示出F点的坐标，然后用坐标表示数量积，即可求出范围．

解答 解：以点A为原点建立直角坐标系，则A（0，0），B（2，0）C（2，2）D（0，2），
E为CD中点，则E（1，2），根据点斜式得EB直线方程为：y=-2x+4，F为线段BE上的动点，则可设F（x，-2x+4）（其中1＜x＜2），
则$\overrightarrow{FB}•\overrightarrow{FC}$=（2-x，2x-4）•（2-x，2x-2）=（2-x）²+（2x-4）（2x-2）=5x²-16x+12=5（x-$\frac{8}{5}$）²-$\frac{4}{5}$，
当x=$\frac{8}{5}$时，$\overrightarrow{FB}•\overrightarrow{FC}$取最小值，为-$\frac{4}{5}$，当x=1时，$\overrightarrow{FB}•\overrightarrow{FC}$取最大值，$\overrightarrow{FB}•\overrightarrow{FC}$=1，
故答案为：$[{-\frac{4}{5}，1}]$．

点评 本题考查了平面向量的数量积及其应用，属于中档题．