Question

16．求函数f（x）=3${\;}^{\sqrt{{x}^{2}-5x+4}}$的定义域、值域及单调区间．

Answer 1

分析 令t=x²-5x+4≥0，求得函数的定义域；根据f（x）=${3}^{\sqrt{t}}$，t≥0求得函数的值域；求得函数t的单调区间，可得f（x）=${3}^{\sqrt{t}}$的单调区间．

解答 解：令t=x²-5x+4≥0，求得x≤1或 x≥4，故函数的定义域为{x|x≤1或 x≥4}，且f（x）=${3}^{\sqrt{t}}$．
根据t≥0，可得f（x）=3^t≥1，故函数的值域为[1，+∞）．
在（-∞，1]上，函数t为减函数，函数f（x）为减函数；在[4，+∞）上，函数t为增函数，函数f（x）为增函数，
故函数f（x）的减区间为（-∞，1]，增区间为[4，+∞）．

点评 本题主要考查复合函数的单调性，指数函数、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．