Question

8．关于x的方程ax+b=$\frac{c}{{x}^{2}}$（a，b∈R⁺，c∈R）有且仅有两根x₁、x₂，若x₁＜0，则$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=（　　）

• A． -3
• B． -2
• C． -$\sqrt{2c}$
• D． -$\sqrt{3}$c

Answer 1

分析 由题意可知函数f（x）=ax+b与函数g（x）=$\frac{c}{{x}^{2}}$的图象有且仅有两个交点，作图辅助，从而可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-2c}{{x}_{1}^{3}}=a}\\{a{x}_{1}+b=\frac{c}{{x}_{1}^{2}}}\\{a{x}_{2}+b=\frac{c}{{x}_{2}^{2}}}\end{array}\right.$；从而解得．

解答 解：∵关于x的方程ax+b=$\frac{c}{{x}^{2}}$（a，b∈R⁺，c∈R）有且仅有两根x₁、x₂，
∴函数f（x）=ax+b与函数g（x）=$\frac{c}{{x}^{2}}$的图象有且仅有两个交点，
作其图象大致如下，

故g′（x）=$\frac{-2c}{{x}^{3}}$，
从而由题意可得，
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-2c}{{x}_{1}^{3}}=a}\\{a{x}_{1}+b=\frac{c}{{x}_{1}^{2}}}\\{a{x}_{2}+b=\frac{c}{{x}_{2}^{2}}}\end{array}\right.$；
故b=$\frac{3c}{{x}_{1}^{2}}$，
从而化简可得，
-2${x}_{2}^{3}$+3x₁•${x}_{2}^{2}$=${x}_{1}^{3}$；
即-2+3$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）³；
解得，$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=1（舍去）或$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=-2；
故选：B．

点评 本题考查了方程的根与函数的图象的交点的关系应用及多元高次方程组的求法，同时考查了导数的应用，属于中档题．