Question

17．在△ABC中，三个内角的对边分别为a，b，c，cosA=$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，asinA+bsinB-csinC=$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$asinB．
（1）求B的值；
（2）设b=10，求△ABC的面积S．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理把已知等式中的边转化成角的正弦，整理后可求得cosC的值，进而求得C，进而求得sinA和sinC，利用余弦的两角和公式求得答案．
（2）根据正弦定理求得c，进而利用面积公式求得答案．

解答 解：（1）∵$asinA+bsinB-c{sinC}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}asinB$，
∴${a^2}+{b^2}-{c^2}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}ab$．
∴$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．
又∵A、B、C是△ABC的内角，
∴$sinA=\frac{{3\sqrt{10}}}{10}，sinC=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．
∵$cos（{A+C}）=cosAcosC-sinAsinC=\frac{{\sqrt{10}}}{10}×\frac{{\sqrt{5}}}{5}-\frac{{3\sqrt{10}}}{10}×\frac{{2\sqrt{5}}}{5}=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
又∵A、B、C是△ABC的内角，
∴0＜A+C＜π，
∴$A+C=\frac{3π}{4}$．
∴$B=π-（{A+C}）=\frac{π}{4}$．
（2）∵$\frac{c}{sinC}=\frac{b}{sinB}$，
∴$c=\frac{b}{sinB}×sinC=4\sqrt{10}$．
∴△ABC的面积$S=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}×10×4\sqrt{10}×\frac{{3\sqrt{10}}}{10}=60$．

点评 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．注意对这两个公式的灵活运用来解决三角形问题．