Question

7．函数$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{4}）$定义在$[0，\frac{π}{2}]$上，则f（x）的值域是[-$\sqrt{2}$，2]；f（x）的减区间是[$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{2}$]．

Answer 1

分析 根据正弦函数的单调性和值域之间的关系进行求解即可．

解答 解：∵0≤x≤$\frac{π}{2}$，
∴0≤2x≤π，$\frac{π}{4}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{5π}{4}$，
∴当2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{4}$时，函数取得最小值为y=2sin$\frac{5π}{4}$=-2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$-\sqrt{2}$，
当2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$时，函数取得最大值为y=2sin$\frac{π}{2}$=2，
则f（x）的值域是[-$\sqrt{2}$，2]，
∵$\frac{π}{4}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{5π}{4}$，
∴当$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{5π}{4}$，
即$\frac{π}{8}$≤x≤$\frac{π}{2}$，
即函数的减区间为[$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{2}$]，
故答案为：[-$\sqrt{2}$，2]，[$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{2}$]．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练掌握函数单调性和值域的求解．