Question

3．函数f（x）=（-x²+2x）e^x
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在区间[-1，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数f（x）的单调区间；
（2）先求出函数f（x）在区间[-1，2]上的单调性，从而求出函数的最值问题．

解答 解：（1）f′（x）=（-x²+2x）′•e^x+（-x²+2x）•（e^x）′
=e^x（-x²+2），
令f′（x）＞0，解得：-$\sqrt{2}$＜x＜$\sqrt{2}$，
令f′（x）＜0，解得：x＞$\sqrt{2}$或x＜-$\sqrt{2}$；
∴函数f（x）的增区间：（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），减区间：（-∞，-$\sqrt{2}$），（$\sqrt{2}$，+∞）；
（2）由（1）得：f（x）在[-1，$\sqrt{2}$）递增，在（$\sqrt{2}$，2]递减，
∴f（x）_最大值=f（x）_极大值=f（$\sqrt{2}$）=（2$\sqrt{2}$-2）${e}^{\sqrt{2}}$，
f（x）_最小值=f（-1）=-$\frac{3}{e}$．

点评 本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．