Question

5．已知数列{a_n}是递增的等差数列，且a₂+a₇=9，a₄•a₅=20．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n．
（2）若b_n=$\frac{n}{{2}^{{a}_{n}}}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）设数列{a_n}的公差为d，由题意可得d＞0，运用等差数列的性质和通项公式，计算即可得到；
（2）求出数列{b_n}的通项，再由错位相减法，即可得到前n项和S_n．

解答 解：（1）设数列{a_n}的公差为d，由题意可得d＞0，
由a₂+a₇=9，a₄•a₅=20，
可得a₄+a₅=9，a₄•a₅=20，a₄＜a₅，
解得a₄=4，a₅=5，
可得d=5-4=1，
即有a_n=4+n-4=n；
（2）b_n=$\frac{n}{{2}^{{a}_{n}}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，
前n项和S_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n-1}}$+$\frac{n}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+$\frac{3}{{2}^{4}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
两式相减，可得$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{1}{2}+$$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
可得S_n=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查等差数列的性质和通项公式的运用，同时考查数列的求和方法：错位相减法，及等比数列的求和公式，属于中档题．