Question

13．设函数f（x）=sin（x+$\frac{π}{6}$）+2cos²$\frac{x}{2}$，
（1）求函数f（x）的周期；
（2）当x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简，进而根据周期公式求得答案．
（2）根据x的范围确定x+$\frac{π}{3}$的范围，进而根据正弦函数的性质求得函数的值域．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx+$\frac{1}{2}$cosx+1+cosx=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx+$\frac{3}{2}$cosx+1=$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{3}$）+1，
∴T=$\frac{2π}{1}$=2π．
（2）∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，
∴x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴当x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$时，函数有最大值$\sqrt{3}$+1，
当x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{6}$时，函数有最小值$\frac{\sqrt{3}+2}{2}$，
∴函数分f（x）的值域为[$\frac{\sqrt{3}+2}{2}$，$\sqrt{3}$+1]．

点评 本题主要考查了两角和公式和二倍角公式的应用，三角函数图象与性质．考查了学生的基础知识的掌握程度．