Question

8．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx）-2sin²$\frac{ωx}{2}$+α（ω＞0）的最小正周期为3π，当x∈[0，π]时，函数f（x）的最小值为0．
（I）求函数f（x）的表达式；
（II）若函数f（x）图象向右平移m（m＞0）个单位后所对应的函数图象是偶函数图象，求m的最小值．

Answer 1

分析 （I）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求得ω、再根据正弦函数的定义域和值域求得α的值，可得函数f（x）的表达式．
（II）由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得所得图象对应函数的解析式，再根据正弦函数、余弦函数的奇偶性求得m=-$\frac{3}{2}$kπ-$\frac{π}{2}$，k∈z，从而得到m的最小值．

解答 解：（I）函数f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx）-2sin²$\frac{ωx}{2}$+α=$\sqrt{3}$sin（ωx）+cos（ωx）+α-1
=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$）+α-1的最小正周期为$\frac{2π}{ω}$=3π，∴ω=$\frac{2}{3}$．
当x∈[0，π]时，$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，函数f（x）的最小值为2×$\frac{1}{2}$+α-1=0，
∴α=0，f（x）=2sin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{6}$）-1．
（II）函数f（x）图象向右平移m（m＞0）个单位后，对应函数y=2sin[$\frac{2}{3}$（x-m）+$\frac{π}{6}$]=2sin（$\frac{2}{3}$x-$\frac{2m}{3}$+$\frac{π}{6}$）的图象
根据所得图象对应的函数是偶函数，可得-$\frac{2m}{3}$+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，即m=-$\frac{3}{2}$kπ-$\frac{π}{2}$，k∈z，故m的最小值为π．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、定义域和值域，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的奇偶性，属于中档题．