Question

1．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2$\sqrt{3}$，cos2A-3cos（B+C）=1．
（Ⅰ）求△ABC外接圆的面积；
（Ⅱ）求bc的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据二倍角公式对原式化简求得cosA的值，进而求得A，最后利用正弦定理求得R．
（Ⅱ）根据余弦定理确定b，c的关系式进而根据基本不等式的性质，确定bc的范围．

解答 解：（Ⅰ）由已知条件得cos2A+3cosA=1，
2cos²A+3cosA-2=0，求得cosA=$\frac{1}{2}$或-2（舍去），
∵0＜A＜π，
∴A=$\frac{π}{3}$，
由正弦定理知2R=$\frac{a}{sinA}$=$\frac{2\sqrt{3}}{sin\frac{π}{3}}$=4，
∴R=2，
外接圆的面积S=πR²=4π．
（Ⅱ）由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，
∵A=$\frac{π}{3}$，a=2$\sqrt{3}$，
∴12=b²+c²-bc，
∵b²+c²≥2bc，
∴bc≤12，
当且仅当b=c=2$\sqrt{3}$时，bc取得最大值12．

点评 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．解三角形问题常常伴有不等式，函数等知识的考查，综合性强．