Question

11．在等比数列{a_n}中，a₂=2，a₅=16．
（1）求等比数列{a_n}的通项公式．
（2）在等差数列{b_n}中，b₁=a₅，b₈=a₂，求等差数列{b_n}的通项公式和前n项和S_n．
（3）若c₁=1，c_n-c_n-1=a_n（n∈N₊，且n≥2），求数列{c_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）设等比数列的公比为q，运用等比数列的通项公式，解方程即可得到所求通项公式；
（2）运用等差数列的通项公式和求和公式，计算即可得到所求；
（3）运用c_n=c₁+（c₂-c₁）+（c₃-c₂）+…+（c_n-c_n-1），再由等比数列的求和公式，计算即可得到．

解答 解：（1）设等比数列的公比为q，
由a₂=2，a₅=16，可得a₁q=2，a₁q⁴=16，
解得a₁=1，q=2，
则等比数列{a_n}的通项公式a_n=2^n-1；
（2）在等差数列{b_n}中，公差设为d，
b₁=a₅=16，b₈=a₂=2，即有7d=-14，
d=-2，
a_n=16-2（n-1）=18-2n，S_n=16n-$\frac{1}{2}$×2n（n-1）=17n-n²；
（3）c_n=c₁+（c₂-c₁）+（c₃-c₂）+…+（c_n-c_n-1）
=1+2+2²+…+2^n-1=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$=2ⁿ-1．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查恒等式c_n=c₁+（c₂-c₁）+（c₃-c₂）+…+（c_n-c_n-1）的运用，属于中档题．